MAT 282 - Engineering Computation I [Pengiraan Kejuruteraan I]

UNIVERSITI SAINS MALAYSIA

First Semester Examination Academic Session 2006/2007

October/November 2006

MAT 282 - Engineering Computation I [Pengiraan Kejuruteraan I]

Duration: 3 hours [Masa : 3 jam]

Please check that this examination paper consists of SEVEN pages of printed material before you begin the examination.

[Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi TUJUH muka surat yang bercetak sebelum anda memu/akan peperiksaan ini.]

Instructions: Answer all four [4} questions.

lAra han:

Jawab semua empat [4] soalan.]

'

.

_{... 2/-}

95

2 [MAT 282]

1. (a) Given

X 0.32 0.34 0.36 0.38

sinx 0.314567 0.333487 0.352274 0.370920

Estimate sin(0.355) using Lagrange polynomial interpolation, P.z and x₀ = 0.34 . Calculate the bound of the error.

[30 marks]

(b) Starting with a Taylor series, derive the Newton -Raphson formula for finding a root of an equation f(x)

=

0. Then by taking x₀

=

0.8, find the root of

xex -1

=

0 correct up to three decimal places. Show that the Newton-Raphson method converges quadratically.

(c) (i) (ii)

1. (a) Diberi

X

smx

[40 marks]

Derive the central difference formula with its truncation error term for first derivative of a function

f .

Calculate the first derivative of f(x) =ex at x

=

1 using h

=

0.001 and estimate its error.

[30 marks]

0.32 0.34 0.36 0.38

0.314567 0.333487 0.352274 0.370920

•

Anggarkan sin(0.355) menggunakan polinomial interpolasi Lagrange, P.z dan x₀ = 0.34. Hitung batas ralatnya.

[30 markah]

(b) Bermula dengan siri Taylor, dapatkan rumus Newton -Raphson bagi mencari punca suatu persamaan f(x) = 0. Kemudian dengan mengambil x₀

=

0.8, cari punca bagi xex -1 = 0 benar sehingga tiga tempat perpuluhan. Tunjukkan

bahawa kaedah Newton-Raphson menumpu secara kuadratik.

(c) (i)

(ii)

[40 markah]

Turunkan rumus beza pus at bersama ralat pangkasannya bagi terbitan pertama suatu fungsi f .

Hitung terbitan pertama f(x) =ex di x

=

1 menggunakan h

=

0.001 dan anggarkan ralatnya.

[30 markahj

••• 31-

2.

2.

3 [MAT 282)

(a) Solve the system Ax= b

4 3 2 1 1

3 4 3 2 1

where

A=

^andb=

2 3 4 3 ^-1

1 2 3 4 -1

using Gauss elimination without pivoting.

Write the matrix A as a product of matrix L and U where L is a unit lower triangular matrix and U is an upper triangular matrix.

[50 marks]

(b) Consider a linear system Ax= b and

x

is an approximate solution of the system. If e =x-i' and r = b-Ax then show that

_t_M<M<lC(A)M

7C(A) llbll-llxll- llbll

where

7C(A)=IIAIIIIA-lll·

[30 marks]

(c) If A = , fin the condition number of A usmg the maxmmrn [

0.89 0.53] d . . . .

0.47 0.28 norm.

[20 marks]

(a) Selesaikan sistem Ax

=

^b

4 3 2 1 1

denganA= 3 4 3 2 1 dan b=

2 3 4 3 -1

1 2 3 4 -1

menggunakan penghapusan Gauss tanpa pemangsian.

Tu/iskan matriks A sebagai hasildarab matriks L dengan matriks U di mana L ialah matriks unit segitiga bawah dan U ialah matriks segitiga atas.

[50markah}

... 4/-

91

4 [MAT 282]

(b) Pertimbangkan suatu sistem linear Ax= b dan

x

ialah suatu penyelesaian hampiran bagi sistem. Jika

e = x- x

dan

r =

^b-

Ax

maka tunjukkan bahawa

_ 1

_ M<M<K(A)M K(A) JJbJJ-JJxll- llbJj

di mana

K(A)=IIAJijjA-

^111-

{30 markah]

[

0.89 0.53]

(c) Jika A= , maka kira nombor suasana bagi A menggunakan 0.47 0.28

norma maksimum.

[20markah]

3. (a) (i) Show that the Newton-Cotes formula when n

=

^{3 is}

1

^~ f(x)dx=-h(fo +3f. +3!; + ³

!;).

'to

8

(ii) Use the above Newton-Cotes formula to evaluate r='·9 1

.b.o~ •

using h

=

^{0.3 and h = 0.1.}

(iii) If the error is given as

_.2_h

⁵

j<

⁵

>(~)

where 0.0

~ ~ ~

^0.9, then calculate 80

the error for both cases.

[40 marks]

(b) Solve the following system using Gauss-Seidel method up to three iterations.

T~e

tire DritiW

~te ~

^[

n

Sx- y+3z =3 4x+7y-2z=2 6x-3y+9z=9

' .

~' ' \'J

; ;'-'

,, ;J

9 ff' ..

[30 marks]

... 5/-

5

(c) Given an initial guess l!o =

[~:~],solve

the system x2 + y2 = 1

x²- y=O

using Newton's method. Repeat the iteration three times.

3. (a) (i) Tunjukkan bahawa rumus Newton-Cotes apabila n = 3 ialah

r~ 3

.lxo

f

(X )dx :::

g

^{h(fo + 3}

h

^{+ 3}

h

⁺

h) ·

(ii) Guna rumus Newton-Cotes di atas untuk menilaikan f·9 1

.b.o~

menggunakan h = 0.3 dan h

=

^0.1.

[MAT 282]

[30 marks]

(iii) Jika ralat diberikan sebagai _.2_h⁵

fc

⁵>(q) dengan 0.0::;

~ s

^{0.9, maka}

80 kira ralat untuk kedua-dua kes.

{40markah}

(b) Selesaikan sistem berikut menggunakan kaedah Gauss-Seidel method sehingga

tiga lelaran. Ambil nilai anggaran awa/ aebagai [

~] .

5x-y+3z ⁼³ 4x+7y-2z=2 6x-3y+9z =9

{30 markah]

... 61·

6 [MAT 282]

[0.5]

(c) Diberi nilai agakan awal !o = 0.

5 , selesaikan sistem xz

+

yz =1

x^{2 -} y =0

menggunakan kaedah Newton. Ulang lelaran tiga kali.

[30 markah]

4. (a) Given

2.3 2.5 3.0 3.5 3.8

6.127 6.300 6.694 7.047 7.243

Use Newton Divided Difference method to estimate the value of /(2.85) using

~ and ~ where x₀

=

^2.5. Compare the results with the value obtained if~ is used.

[30 marks]

-1] 7 .

20

(i) Use the Gerschgorin Theorem to determine a region containing all the eigenvalues of A .

(ii) Use the power method to find the dominant eigenvalue and a •

corresponding eigenvector of A , given the initial vector

X,

= [

~]

[30marks]

[ 5 4 3]

(c) Let A = -1 0 -3 . 1 -2 1

(i) Find all the eigenvalues of A and their corresponding eigenvectors.

(ii) Find all the eigenvalues of A ^{- l .}

(iii) Find the spectral radius of A and A-t.

lCJO

[40marks]

.•. 11-

7 ^{[MAT 282]}

4. (a) Diberi

2.3 2.5 3.0 3.5 3.8

f(xJ 6.127 6.300 6.694 7.047 7.243

Gunakan kaedah Beza Terbahagi Newton untuk menganggarkan nilai /(2.85) menggunakan ~ dan ~ dengan x₀

=

^{2.5 .} Bandingkan nilai-nilai tersebut dengan nilai yang diperoleh jika ~ digunakan.

{30 markah}

7 (b) Katakan A =

[

2: 1

₇

~I ]·

(i)

-4 20

Guna Teorem Gerschgorin untuk menentukan suatu kawasan yang mengandungi semua nilai eigen A.

(ii) Guna kaedah kuasa untuk mencari nilai eigen dominan dan vektor eigen yang sepadan bagi A, diberi vektor

X.= [~]

sebagai nilai awal.

[30markah]

(i) Cari semua nilai eigen bagi A dan vektor eigen yang sepadan.

(ii) Cari semua nilai eigen bagi A-t.

(iii) Cart jejari spektral bagi A dan A-t.

{40markahj

-000 0 000-

. .

·l .

: