zcT 210/4 - Analisis Kompleks dan persamaan pembezaan Masa :

UNTVERSITI SAINS

MALAYSI,A

Peperiksaan Semester Pertama

Sidang Akademik

20M/2005

Oktober 2004

zcT 210/4 - Analisis Kompleks dan persamaan pembezaan Masa :

³

jam

Sila

pastikan bahawa kertas peperiksaan

ini

mengandungi

EMPAT muka

surar vens bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini.

Jawab kesemua

ENAM

soalan. Kesemuanya wajib dijawab dalam Bahasa Malavsia.

^n F "'A'

Jt,i)

-2-

l.

^Diberi nombor kompleks P = ⁹

-

^{4i .}

(a) Lakarka

P di dalam ^sateh kompleks.

(b)

Tukarkam

| !g

delam bentuk klrnrb, P ₌ re@ .

(c) (i) Terbitan

semua trmca ^yang

krkza,Mgj F'o

^.

(ii) Lakrkan

prmca-punca

ini

di dalam satah kompleks.

(d) Nilaikan

P-t-2r .

(a)

Dibqi linasan

Cr

terdiri

dmipada garis lurus menegak dari

titik -2 qli

rlen kemudian garis lurus mendatar dari

titik 2+2i.

6hn liates"an C2 ialah ialah satu garis lurus dari

titik

)

[zcT 2t0]

(10/100)

(lsl100)

(30/100)

(20/r00)

(2sl100)

titik -2 -2i

^ke

-2+2i ke titik -2-2i

^ke

titik

(20/100) ke

titik n

^pada

Lakarkan C di

( l 0/l 00) (20l100)

2+2i

(i)

t^a&arkan lintasan-lintasan Cr dan Cz

di

dalam satah kompleks.

(l0/100) Dib€ri -f(z) =9zr

⁺

5z-(1

+ 2t)

(ii ₎

a a:

Nilaikan -,;, |

^{_f t} ₌

tfu

dengankamiran biasa (kamiran terus).

(20/100)

Nilaikan I ff rldz

sepanjanglintasanC1.

-1-1i

(20l100)

)+')'

(iii ₎

(b)

(iv) Nilaikan I ffrldz

sepanjanglintasanC2 -2-2i

(i) Diberi C

ialah kontour semi-bulatan dari

titik -z

bahagian atas paksi nyata

di

dalam satah kompleks.

dalam satah kompleks.

(ii)

Nif

aikan

tcos(iz

)

^dz

C

306

...3t-

-3- lzcr 2l0l

(15/100)

(l 5/r00) (2s/t00)

(45l100)

(50/100)

J.

)z

Diberi s( zl -\ ' = i 642'+27

(a) (b) (c)

Cari

kunrbkutub

yang terhingga

bagi S(r).

Lakarkan

kuftb-larub ini

di dalam satatr kompleks.

Cari reja-reja

bag g(z)

pada kutub-kutub

ini.

Nilaikan

kamiran,

t =\s(z) dz

denganteorem reja.

Selesaikan persamaan Bernoulli yang berikut:

xy'

₌ 6y

+l\xa

y)4

Dari keputusan dalam (a) dan

(b), persamzan pembezaan ( I ).

(d)

a-A (a)

(a)

(b) Selesaikan persamaan pembezaan berikut dengan kaedah yang sesuai:

).

e'

+ ye'Y + (eY

+

xer')

y'

₌ ^g

Pertimbangkan persamaan pembezaan yang tidak homogen ini:

(50/100)

xt

y' -2xy' +2y

=

x' e' (l)

cari

penyelesaian

am, %(x),

^bagi persamaan homogen yang terturun dari persamaan pembezaan (1 ).

(20/r00\

Cari

penyelesaian

lr?), bagi

pers:rm&m pembezaan

(l)

dengan kaedah perubahan parameter.

(7sll

00)

nyatakan

penyelesaian

am

bagl (s/100) (b)

(c)

3 0'7

...4t-

-4_ [zcr2to]

(6)

Pertimbangkan persamzun pembeze:n yang berikut:

3r' ,,'+

^(3x2

+ 5x)y'+

^(6x

- l)y

=

0

⁽²⁾

(a)

Tentukan

titik

singular dan

titik-titik

biasa bagi p€rsamaan pembezaan (2).

Kemudian. tunjukkan yang

titik

.r = ^{Q adalsfu}

titik

singular biasa

(1

5/l0o)

(b) Selesaikan

persamaan

pembezaan (2\ dengan nengguakan

kaedah Frobenius

-

^tentukan

(i)

^persamaan

"indicial", (ii)

punca-punca persarnaan

"indicial", (iii)

hubungan rekursi dan

(iv) limx

5sluten pertama bagr setiap dari kedua-dua penyelesaian siri bagi persamaan pembezaan (2).

(85/100)

-oooOooo-

308