MAT 363- PENTAABIRAN STATISTIK

(1)

UNIVERSITI SAINS MALAYSIA Peperiksaan Semester Pertama

Sidang Akademik 2006/2007 Oktober/November 2006

MAT 363- PENTAABIRAN STATISTIK

Masa: 3jam

Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi ENAM muka surat yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini.

Jawab semua empat soalan.

• .. 21-

lCJ3 ,, .

^.^.

.

^/

.

,,

(2)

I. (a) Andaikan XpX₂,X₃,X₄ menandakan sampel rawak saiz 4 daripada taburan N(0,4) dan

:r;,r;,J;

menandakan sampel rawak saiz 3 daripada taburan N(O,l).

Jika kedua-dua sampel tak bersandar, cari taburan untuk setiap statistik berikut:

(i)

X+Y

(ii)

X-Y

(iii)

!(x -x )

²

8 ³ ^I

(iv)

[30 markah]

(b) Andaikan X dan Y dua pembolehubah rawak selanjar yang mempunyai fungsi ketumpatan tercantum fx,r(x,y) dan biarkan Z =X+ Y. Jika X dan Y tak bersandar, tunjukkan bahawa fungsi ketumpatan bagi Z ialah

g(z)

= j

~«>fx(z-y)fr(y)dy.

[20 markah]

(c) Andaikan X dan Y sebagai dua pembolebubah rawak normal piawai yang tak bersandar. Cari fungsi ketumpatan

ter~antum

^V

=

X

hy

^{dan W}⁼^X

;_y .

^Adakah

V dan Wtak bersandar? Jelaskanjawapan anda.

[30 markah]

(d) Andaikan XpX₂,X₃,X₄,X₅ ialah pembolebubab rawak tak bersandar yang mempunyai taburan eksponen sepunya dengan parameter a:, iaitu f(x) = ae-a.r.

Cari taburan untuk statistik

y;

⁼min ( X_1,X _{2 ,}X _{3 ,}X _{4 ,}X

s) .

[20 markah]

2. (a) Biarkan X₁,X_{2 , ...},X₁₁ mewakili suatu sampel rawak daripada taburan normal

LX;

n

piawai. Cari taburan penghad untuk

Xn

= 1=!...__.

n

. . t::;

^f

11~4

[30markah]

... 3/-

(3)

3 [MAT 363]

(b) Jika

xn

^-~bp ^dan ^Y,l ^p ^c mengimplikasikan

x;

^p ^b² ^dan

xn +J:-~b+c, p manakala

xn

^p ^X mengimplikasikan kXn

_P~kX,

yang mana b, c dank ialah pemalar, tunjukkan bahawa XnYn -~be. p

(Petua: Cari hubungan antara XnJ: dan [ { Xn + Yn )²- { Xn -

J: )

²^] dahulu)

(20 markah]

(c) Biarkan X₁,X_{2 ,}^•••,Xn sampel rawak daripada taburan seragam selanjar, U(8 - 5, 8 + 5). Jika

Y;

< ~ < ... <

I:

mewakili statistik tertib sepadan bagi sam pel rawak ini, cari suatu penganggar kebolehjadian maksimum 8. Adakah penganggar kebolehjadian maksimum ini unik?

[30markah]

(d) Andaikan XpX_{2 , •••},Xn sampel rawak daripada taburan beta, B(a,l).

(i) Cari penganggar kaedah momen a.

(ii) Cari penganggar kaedah momen min populasi.

[20markah]

3. (a) Biarkan XpX_{2 , •••},X, mewakilisampelrawakdaripadataburan P₀

(a)

manakala

X

dan S²masing-masing menandakan min sampel dan varians sampel.

(i) Adakah W =(1-b³

)X

^+b³^S²^,^{0 <}^b^<1, penganggar saksama bagi a?

[Petua:

S

²

~ a( n~l, ~~

¹

}

(ii) Cari batas bawah Cramer-Rao untuk varians penganggar saksama bagi a.

(iii) Adakah

X

penganggar cekap bagi a?

[30 markah]

(b) Biarkan X₁,X₂^{, •••},Xn mewakili sampel rawak yang mempunyai taburan eksponen dengan fungsi ketumpatan

f(x)=

_!_e-xf1,, 0 <

x

^<oo; A.> 0.

A.

(i) Jika m ialah median taburan, carl m.

. . .4/-

(4)

(ii) Seterusnya, . carl penganggar saksama bervarians minimum secara serag~

(PSVMS) bagi

~

. A.

[20markah}

(c)Andaikan X"X_{2 , •••},Xn mewakili sampel rawak daripada taburan yang mempunyai fungsi ketumpatan

3x²

f(x)=-

₃ , 0

<x

<a; a.> 0.

(X.

Talaifkan f;. =maks(X₁,X₂, ••• ,Xn)·

(i) Tunjukkan bahawa

Y:.

ialah suatu kuantiti pangsian.

3a.

(ii) Terbitkan selang keyakinan 1 OOy peratus bagi a berasaskan kuantiti pangsian Yn

3a.

(iii) Terbitkan selang keyakinan hampiran 1 OOy peratus bagi a dengan menggunakan teorem had memusat.

[50 markah]

4. (a) Biarkan X₁,X_{2 , ...},X₂₀ mewakili suatu sampel rawak saiz 20 daripada taburan

•

Poisson dengan min

e,

^iaitu

e-a8x

f (X)=--, X=

0, 1, 2, ... ; 8 > 0 x!

Bagi menguji H_{0 :}8 = 0.2 lawan H₁^:8 = 0.5, ujian berikut digunakan: Tolak H₀

20

jika dan hanya jika

LX;

^~⁵. Carl fungsi kuasa ujian itu serta saiz ralat Jenis-1

i=l

dan saiz ralat Jenis-11 nya.

[30markah]

(b) Andaikan X₁,X₂,X₃,X₄,X₅ sarnpel rawak saiz lima daripada taburan sepunya dengan fungsi ketumpatan

J(x)=

_!_e-x/a, 0 <X< oo; a.> 0.

(X.

Carl rantau genting paling berkuasa bagi menguji H₀:a.= 1 lawan H₁:a= 2 berasaskan sampel rawak ini. Carl saiz ujian paling berkuasa ini.

(30 markah]

.•• 51-

(5)

5 [MAT 363]

(c) Biarkan XpX_{2 ,}••• ,Xn mewakili suatu sampel rawak saiz n daripada taburan

N(~, 25).

(i) Cari rantau genting bagi ujian nisbah kebolehjadian untuk menguji H ₀: ~ = 60 law an H_{1 :}~ > 60 .

(ii) Jika suatu sampel rawak saiz n

=

9 menghasilkan

x

⁼ 63.2, adakah H₀ diterima pada aras keertian ex.= 0.1 0?

[40 markah]

(6)

I

0 0 0

=

= =

0 0

9

N + I N - 1 ~· I .,

Sc1:tgam Disluil

nernoulli

·ninominl

Gcometri Pnisson

·serag:nn

Nonn.al

Eksponen Gnma

...

I< hi Kunsa·· Dua

Beta

/(X)"'N /(1,2,···,N)(x)

f(x)

=

^pq"^I^{(0,1 ...}^·1^(x)

f(x)

= e-~

^'A." ^lr_{0 1}^.••₁^(x)

xl '· · j(x) = - -1 l(a b](x)

b-a ·

1 2 2 •

j(x) = ~ exp(-(x-Jl) /2a }1(-oo,co)(x) a"2n

) 'A."· -u n-1 I ( ) f(x = - e x (O..,) x

r(n) ,

f ^(x)^=:

.!.

I e -x/1 x(r/2)-1 I (x) ( )

r/2

2 r(r /2)

co .... )

/(x)-= f(a +

P>

^x"-^{1 (}^1-^x)IH^I ^(x)

f(a)r(fl) (O.I)

- - L . - e '

2 )2 ' Jal N

p np

!L

p

-

a+b ₂

l 'A.

-

a r a

pq npq

(b-a)' 12

2r

q + pe'

P , qe' <I

l-qt' . exp{'A.(e' -I))

e"' -e

⁰¹ _t:~;O

(b- n)t '

exp{J11 + (at)¹/2)

- - , ( < ' ) . . 'A.

"--I

( 1

)rll ·

^I

- 1<-

1-21 • 2

'